Tecnologia e Sistemi di Accordatura p.3



TECNOLOGIA E SISTEMI DI ACCORDATURA
Risorse hardware, software e online per la musica microtonale
(tesi di laurea di secondo livello in musica e nuove tecnologie -
INDICE)

UNA BREVE STORIA DEI SISTEMI DI ACCORDATURA p.1 - ANTICHITA’

Nota alla versione per internet - 2012:
Il presente capitolo non ha la pretesa di essere esaustivo su un tema che ha occupato studiosi di tutto il mondo per migliaia di anni. Sono solo alcuni cenni storici che consentono di introdurre vari temi fondamentali della ricerca in questo settore. Alla fine di questo capitolo si trova una bibliografia che dovrebbe soddisfare qualsiasi curiosità al proposito.


Sin dall’antichità la musica è stata una parte vitale delle attività umane. Lo sviluppo di strutture musicali come scale e accordature si può far risalire, secondo alcuni studiosi (come Doty, Partch e Wilkinson) a quasi tremila anni prima di Cristo (anche se tutti si affrettano a notare che forse è una datazione un po’ esagerata). L’unica delle grandi civiltà allora esistenti (assiro-babilonese, egiziana e cinese) di cui disponiamo di documenti a questo proposito è quella cinese.

LING LUN

Il calcolo matematico per ottenere una scala pentatonica viene attribuito a Ling Lun, un musicista alla corte dell’imperatore Huang-Ti, ventisette secoli prima di Cristo! Il procedimento prevede di partire con una canna di bambù aperta da una sola parte che viene suonata soffiando come faremmo con una bottiglia.
(La lunghezza della canna non è l’unico fattore che influisce sul suono prodotto ma in questa semplificazione si fa come se lo fosse).
Questa canna viene misurata arbitrariamente in 81 parti (e costituisce il suono fondamentale). Un’altra canna viene tagliata con un rapporto 2/3 rispetto ad 81 cioè 54. Un ulteriore canna viene tagliata a 72 parti che corrisponde alla misura della precedente più un terzo di essa (54+18=72). Una quarta canna viene tagliata a 48 parti (2/3 della precedente) e infine una quinta canna viene tagliata a 64 parti che, di nuovo, corrisponde alla misura della precedente più un terzo di essa (48+16=64).
Questo procedimento porta ad un insieme di canne che produce altezze con i seguenti rapporti intervallari rispetto alla tonica (1/1):
1/1, 9/8, 81/64, 3/2, 27/16, 2/1
Rapporti tra gradi contigui della scala:
9:8, 9:8, 32:27, 9:8, 32:27

Le stesse informazioni espresse in cents:
Intervalli in cents dalla tonica (1/1):
0., 203.91, 407.82, 701.955, 905.865
Intervalli in cents tra gradi contigui della scala:
203.91 203.91, 294.135, 203.91, 294.135

Questa scala è simile alla pentatonica DO, RE, MI, SOL, LA, DO.
Poiché l’altezza di un suono e’ inversamente proporzionale alla lunghezza di un corpo vibrante (in questo caso una canna, ma lo stesso varrebbe anche per una corda, non tenendo conto che la lunghezza non è il solo fattore che determina l’altezza del suono prodotto) tagliando una canna a 2/3 della sua lunghezza si ottiene un suono che ha una frequenza 3/2, ovvero 1,5 volte, più alta della precedente. Quindi in questo caso:
la canna lunga 81 genera la fondamentale (1/1)
quella lunga 54 genera un suono con una frequenza 3/2 (rispetto alla fondamentale)
quella lunga 72 genera un suono con una frequenza 9/8 (rispetto alla fondamentale)
quella lunga 48 genera un suono con una frequenza 27/16 (rispetto alla fondamentale)
quella lunga 64 genera un suono con una frequenza 81/64 (rispetto alla fondamentale)
la sesta canna che genera l’ottava (2/1) avrà una lunghezza di 40,5.

Questa è una cosiddetta scala pitagorica (si veda il prossimo capitolo) in quanto viene prodotta modificando la lunghezza delle canne di +/- 1/3 della precedente. Si può notare che nessuna delle frazioni contiene multipli di numeri primi superiori al 3 e quindi si dice che 3 è il numero limite di questa scala ovvero che gli unici intervalli considerati consonanti sono quelli che hanno rapporti riconducibili a numeri primi non superiori a 3 (in gergo, “limite 3” ).

PITAGORA DI SAMO

A Pitagora di Samo (o di Crotone, dove fondò la sua scuola), vissuto nel VI secolo a.C., circa duemila anni dopo Ling Lun, viene attribuita l’introduzione nella teoria musicale greca degli intervalli di ottava, quinta e quarta giusta, basata su semplici rapporti tra numeri interi. Il procedimento di Pitagora non è molto differente da quello di Ling Lun ma, invece di utilizzare canne di bambù, per i suoi studi scelse il monocordo, una corda tesa tra due ponti con un ponte mobile per determinare varie proporzioni tra l’altezza dell’intera corda e parti di essa.
Pitagora scoprì che l’altezza della nota prodotta dalla vibrazione della corda intera poteva essere raddoppiata facendone vibrare solo la metà (ottenendo l’ottava). Ulteriori intervalli di ottava potevano essere ottenuti dividendo la corda in 4, 8 parti etc. (ovvero utilizzando esclusivamente multipli del numero primo 2). Una scala che consista solamente d’intervalli di ottava non è musicalmente molto utile per cui Pitagora cominciò a suddividere la corda in tre parti (utilizzando cioè il successivo numero primo). Facendo vibrare 2/3 della corda Pitagora scoprì che il suono risultante stava in rapporto 3/2 rispetto al suono della corda intera: se la nota di partenza è DO (1/1) arriviamo al SOL (3/2, la quinta giusta naturale). Nel fare questa operazione è implicita la creazione di un nuovo intervallo, quello tra SOL (3/2) e DO (2/1, l’ottava). Questo intervallo è 4/3 (2/1–3/2=2/1x2/3=4/3). Gli intervalli 3/2 e 4/3 si dicono complementari perché la loro somma forma un’ottava (3/2+4/3=3/2x4/3=12/6=2/1). Concatenando successivi intervalli di quinta giusta naturale si possono generare gli ulteriori gradi della scala diatonica pitagorica con i seguenti rapporti intervallari rispetto alla tonica (1/1):
1/1, 9/8, 81/64, 4/3, 3/2, 27/16, 243/128
Rapporti tra gradi contigui della scala:
9:8, 9:8, 256:243, 9:8, 9:8, 9:8, 256:243
Le stesse informazioni espresse in cents:
Intervalli in cents dalla tonica (1/1):
0., 203.91, 407.82, 498.045, 701.955, 905.865, 1109.775
Cents tra gradi contigui della scala:
203.91, 203.91, 90.225, 203.91, 203.91, 203.91, 90.225

Questo procedimento di creazione di intervalli basato su note che risultano dalla successiva divisione di porzioni proporzionali di una corda è chiamato “proporzione armonica” (1/1 è la lunghezza della corda, 1/2 di essa genera l’ottava etc.)
Senza scendere in ulteriori dettagli si può facilmente intuire dai rapporti tra i gradi della scala che se gli intervalli di quarta e quinta sono rappresentati dai più semplici rapporti disponibili per quegli intervalli (4/3 e 3/2), altrettanto non si può dire per gli altri gradi della scala che sono rappresentati tutti da rapporti complessi e conseguentemente dissonanti. Questo spiega perché terze e seste furono considerate dissonanti fino all’avvento delle scale che utilizzavano numeri primi fino al 5 per la costruzione dei rapporti intervallari e il cui utilizzo consentiva di avere terze e seste molto più consonanti.

audio: pitagora test
Questo esempio consiste nell’ascolto di una terza maggiore pitagorica (81/64, 407.82 cents), seguita dallo stesso intervallo in 12tET (400 cents) e in accordatura naturale (5/4, 386.314 cents). L’esempio è ripetuto 2 volte.

Ma c’è di più: se il procedimento di concatenazione di quinte giuste naturali prosegue percorrendo l’intero “circolo delle quinte” costituito da 12 intervalli 3/2 e riportando i risultati nell’ambito di un’ottava, non torniamo alla nota di partenza. Si scopre che il procedimento di concatenazione di intervalli 3/2 può andare avanti indefinitivamente senza mai tornare all’ottava della nota di partenza. Questa anomalia, cioè la differenza tra la nota di partenza e quella di arrivo in questa “spirale di 12 intervalli di quinta giusta naturale (3/2)” viene chiamata “comma pitagorico” e viene misurato come l’intervallo 531441/524288 (circa 23.5 cents). Pare che questa anomalia fosse nota a Pitagora e ai suoi discepoli che però celarono questo segreto, forse per non turbare l’immagine di dedizione alla vita pura e alla musica basata su semplici rapporti intervallari che essi professavano.
Il fatto che Pitagora non abbia proceduto a suddividere la corda del monocordo utilizzando anche intervalli basati sui numeri primi 5 o 7 è dovuto, secondo gli studiosi già precedentemente citati, alla percezione, nel mondo greco a quel tempo, del numero 3 come immagine di perfezione divina (e conseguentemente di consonanza perfetta) impedendo così l’esplorazione di rapporti intervallari basati su numeri più grandi.

ARCHITA DA TARANTO

Per quanto Pitagora avesse ottenuto grandi risultati nell’organizzazione delle risorse musicali del tempo, le scale da lui messe a punto erano virtualmente non cantabili a meno che i cantanti non fossero accompagnati da strumenti accordati nella stessa scala. Archita, vissuto nel IV secolo a.C., partendo dalla scala pitagorica, sostituì l’intervallo 5/4 (terza maggiore naturale) al difficilmente intonabile 81/64 (già utilizzato anche da Ling Lun) e 8/7 a 9/8 aprendo così le porte alla successiva accettazione degli intervalli basati sui numeri primi 5 e 7 come intervalli musicalmente validi.

ARISTOSSENO DA TARANTO

Nel periodo trascorso tra quello di Pitagora e quello di Archita si era costituita una scuola di filosofi e teorici matematici chiamata degli Armonisti di cui Archita era un membro importante. Ai presupposti matematici di questa scuola si oppose Aristosseno, vissuto alla fine del IV secolo a.C. Di lui rimangono alcuni scritti tra i quali “Gli elementi di armonia” che pare sia il più antico trattato sulla musica dell’antica Grecia pervenutoci. Egli affermava che l’apparato uditivo e non il calcolo matematico, doveva essere il giudice finale sulla validità del materiale musicale, implicitamente affermando che intervalli basati su semplici rapporti numerici risultano più consonanti di quelli caratterizzati da rapporti numerici complessi. Nei suoi scritti egli descrive inoltre un procedimento per la divisione di un tono intero (una seconda maggiore) in due parti (semitoni), tre parti (terzi di tono) e quattro parti (quarti di tono). Quindi il primo riferimento a microintervalli risale al quarto secolo a.C.!

ERATOSTENE DI CIRENE

Eratostene, nato in Libia e vissuto nel III secolo a.C. fu il direttore della grande biblioteca di Alessandria d’Egitto. A lui si deve la sostituzione del rapporto 6/5 (terza minore naturale) al più difficilmente intonabile 32/27 calcolato da Pitagora (questo intervallo nasce se si calcola, per esempio, la distanza tra il secondo e il quarto grado della scala diatonica pitagorica: 4/3-9/8=4/3x8/9=32/27), che conferma l’uso già fatto da Archita di rapporti intervallari basati sul numero primo 5. Inoltre Eratostene risulta essere il primo proponente della cosiddetta “proporzione aritmetica” per quanto la scoperta venga generalmente attribuita a Pitagora. Questo procedimento consiste nella divisione di una corda in un numero di parti uguali. Le note che risultano dalla vibrazione di varie suddivisioni di essa sono utilizzate per creare una scala. Si possono ottenere scale differenti dividendo la corda in un numero differente di parti. Questo procedimento è speculare a quello denominato “proporzione armonica” in quanto l’unità di suddivisione della corda risulta essere 1/1 (la fondamentale), due parti produrranno un suono che sta un ottava SOTTO la fondamentale (1/2), tre parti 1/3 etc. Questo procedimento continuerà ad essere utilizzato da teorici della musica fino ai nostri giorni (Partch, per esempio).

KING FANG

King Fang, un contemporaneo di Eratostene ma nato in Cina, fece una scoperta interessante: calcolò la lunghezza e la relativa frequenza (vibrazioni al secondo) di una serie di canne di bambù tagliate secondo il procedimento di Ling Lun, cioè per consecutivi intervalli 3/2. Egli notò che dopo 53 intervalli di quinta giusta naturale, la 54esima canna (con le dovute trasposizioni di ottava) aveva una frequenza quasi identica a quella di partenza ( un errore di +3,6 cents), anticipando di circa 18 secoli la scoperta in Occidente del ciclo di 53 quinte perfette naturali da parte del matematico tedesco Nicholas Mercator (1620-1687) da cui prese nome il suddetto errore, chiamato da allora “comma di Mercator”.

CLAUDIO TOLOMEO

Tolomeo, nato a Alessandria d’Egitto verso la fine del II secolo a.C., è soprattutto conosciuto per la sua visione geocentrica del sistema solare che da lui prese il nome, è pure considerato colui che teorizzò quella che sarebbe diventata la scala maggiore naturale. E’ anche colui grazie al quale ci sono pervenute informazioni sui molti dei precedenti sviluppi della teoria musicale greca che altrimenti sarebbero andati perduti. Nei suoi scritti sull’armonia condanna sia i pitagorici che gli aristosseni (i seguaci di Aristosseno). In particolare Tolomeo tende a convertire le scale musicali della tradizione greca in scale dai più semplici rapporti intervallari compatibili con la natura e la funzione estetica di essi, è quindi, molto probabilmente, la prima esposizione completa dell’accordatura naturale.

Rapporti intervallari calcolati rispetto alla tonica (1/1):
1/1, 9/8, 5/4, 4/3, 3/2, 5/3, 15/8
Rapporti tra gradi contigui della scala:
9:8, 10:9, 16:15, 9:8, 10:9, 9:8, 16:15
Le stesse informazioni espresse in cents:
Intervalli in cents dalla tonica (1/1):
0., 203.91, 386.314, 498.045, 701.955, 884.359, 1088.269
Cents tra gradi contigui della scala:
203.91, 182.404, 111.731, 203.91, 182.404, 203.91, 111.731

Come si può vedere Tolomeo prediligeva i cosiddetti rapporti “superparticolari” che possono essere espressi come (n+1)/n, ovvero da rapporti in cui il numeratore è più grande del denominatore di una unità. Tutti i gradi di questa scala sono separati da intervalli di natura “superparticolare” in quanto egli riteneva che solo tale caratteristica li rendesse musicalmente corretti. La sequenza tolemaica allarga il numero di intervalli considerati consonanti prendendo in esame anche gli intervalli basati sul numero primo 5 (mentre per Pitagora il limite era il 3).

HO TCHENG-TIEN

Ancora una volta i Cinesi risultarono avanti agli Occidentali relativamente alla teoria musicale. Ho Tcheng-Tien (370-447 d.C.) calcolò la divisione di un’ottava in 12 parti uguali con una approssimazione inferiore ai 10 cents con circa tredici secoli di anticipo rispetto agli occidentali. Pare comunque che la misurazione delle corde utilizzate per arrivare a questo risultato sia stata ottenuta più a orecchio che tramite calcoli. La formulazione del temperamento equabile sarà ottenuta più o meno simultaneamente sia in Cina che in Europa circa 1300 anni dopo.

ANICIO MANLIO SEVERINO BOEZIO

Malgrado molti documenti della teoria musicale greca non siano sopravvissuti al crollo dell’impero romano, alcuni furono salvati e fornirono le basi dello studio ai teorici musicali medioevali principalmente grazie agli scritti del filosofo Anicio Manlio Severino Boezio (480-525 d.C.). La teoria musicale greca fu pure preservata e sviluppata nel mondo islamico e ciò ebbe una grande influenza sullo sviluppo della musica in Occidente.

BIBLIOGRAFIA

Barbour J. Murray – Tuning and Temperament, a Historical Survey
Benade Arthur H. – Fundamentals of Musical Acoustics
Danielou Alain – Music and the Power of Sound
Doty David B. - The Just Intonation Primer
Forster Cris - Musical Mathematics on the art and science of acoustic instruments
Helmholtz Hermann – On the Sensations of Tone
Isacoff Stuart – Temperamento, Storia di un enigma musicale
Jorgensen Owen - Tuning: Containing the Perfection of Eighteenth-Century Temperament, the Lost Art of Nineteenth-Century Temperament, and the Science of Equal Temperament
Mathieu W.A. – Harmonic Experience
Partch Harry – Genesis of a Music
Sethares William A. - Tuning, Timbre, Spectrum, Scale
Wilkinson Scott R. – Tuning In, Microtonality In Electronic Music

Versione per internet - 2012

CARLO SERAFINI

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