Tecnologia e Sistemi di Accordatura p.8



TECNOLOGIA E SISTEMI DI ACCORDATURA
Risorse hardware, software e online per la musica microtonale
(tesi di laurea di secondo livello in musica e nuove tecnologie -
INDICE)

IL PROBLEMA DELL’ACCORDATURA – UN ESPERIMENTO

Quando si creano accordi, partendo da una nota fondamentale e rapporti armonici naturali, ovvero basati su semplici frazioni, è facile vedere dove nascono i problemi.

Due premesse prima di proseguire:
1) utilizzeremo esclusivamente rapporti tra 1 e 2, questo perché l'ottava ( il rapporto 2/1, ovvero la frequenza doppia della fondamentale) essendo l’intervallo più semplice, in musica, dopo l’unisono, viene percepita come la stessa nota di quella di partenza (avente lo stesso nome, non la stessa altezza).
2) la nota fondamentale è indicata dal rapporto 1/1

Se vogliamo sommare due intervalli si moltiplicano i loro rapporti.
Per esempio: come si calcola una terza maggiore più una quinta giusta?
Un intervallo di quinta giusta equivale alla frazione 3/2 e uno di terza maggiore alla frazione 5/4 per cui (3/2)*(5/4)=(3*5)/(2*4)=15/8 (in Do equivale all’intervallo Do-Mi più Mi-Si cioè Do-Si).

Se vogliamo sottrarre un intervallo da un altro si divide il loro rapporto.
Per esempio: come si calcola una quarta giusta meno una terza minore?
Un intervallo di quarta giusta equivale alla frazione 4/3 e una terza minore alla frazione 6/5 per cui (4/3)/(6/5)=(4/3)*(5/6)=(4*5)/(3*6)=10/9 (in Do equivale a Do-Fa meno Re-Fa cioè Do-Re).

Se sommiamo una quinta giusta ad un'altra quinta giusta avremo (3/2)*(3/2)= 9/4. 9/4 è maggiore di 2 (ovvero di un'ottava) per cui per riportare questo intervallo all'interno di un'ottava lo divideremo per 2. (9/4)/2=9/8 (in Do equivale a Do-Sol più Sol-Re cioè Do-Re) e qui si può notare che abbiamo 2 frazioni differenti per rappresentare l’intervallo che nel temperamento equabile è un tono (10/9 e 9/8).
Calcoliamo la differenza tra 9/8 e 10/9.
(9/8)/(10/9)=(9/8)*(9/10)=81/80.
La stessa differenza in cents:
9/8=203.9 cents, 10/9=182.4 cents.
203.9-182.4=21.5 cents
Questa piccola, ma molto significativa, discrepanza di circa un quinto di semitono è chiamata “
comma sintonico”. 81/80=21.5 cents.

Tutte le frazioni seguenti sono calcolate a partire da Do, cioè il centro tonale di questi esperimenti (1/1).

Proviamo a costruire una scala maggiore utilizzando le note che compongono i tre accordi maggiori sul primo, quarto e quinto grado della stessa. Per esempio, per creare la
scala di Do maggiore possiamo utilizzare le note dei tre accordi di Do maggiore, Fa maggiore e Sol maggiore.

I semplici rapporti che corrispondono a questi accordi sono:

1/1, 5/4, 3/2 (Do Mi Sol),
4/3, 5/3, 2/1 (Fa La Do) e
3/2, 15/8, 9/8 (Sol Si Re).

L'unico rapporto che non abbiamo ancora visto e' 5/3 che si ottiene sommando una terza maggiore ad una quarta giusta:
4/3*5/4=(4*5)/(3*4)=5/3 (in Do equivale a Do-Fa più Fa-La cioè Do-La).

Mettiamo questi rapporti nell'ordine di una scala ascendente e avremo la classica scala diatonica naturale:
1/1, 9/8, 5/4, 4/3, 3/2, 5/3, 15/8, 2/1 (Do, Re, Mi, Fa, Sol, La, Si, Do).

Questi tre accordi costruiti sul primo, quarto e quinto grado della scala condividono un'interessante proprietà, la terza maggiore e la quinta giusta di ognuno di essi e' caratterizzata dagli stessi rapporti. Per calcolare l'altezza delle note di
Do maggiore si moltiplica la tonica (1/1) per 5/4 e per 3/2. 1/1*5/4=5/4, 1/1*3/2=3/2.

La stessa moltiplicazione vale per
Fa maggiore: 4/3*5/4=5/3 (La) e 4/3*3/2=2/1 (Do).

Idem per
Sol maggiore: 3/2*5/4=15/8 (Si), e 3/2*3/2=9/4 che è maggiore di 2/1, per cui dividiamo per 2 per ottenere 9/8 (Re).

Proseguiamo provando a costruire triadi su ogni altro grado della scala seguendo lo stesso metodo utilizzato per le tre triadi precedenti:
La minore: il rapporto tra la fondamentale e la terza minore è 6/5 e troviamo una triade minore partendo da La (La, Do, Mi) i cui rapporti sono 5/3, 1/1 e 5/4. Quindi 5/3*6/5=2/1 (Do) e 5/3*3/2=5/2 che è maggiore di 2/1, per cui dividiamo per 2 per ottenere 5/4 (Mi).

Mi minore: incontriamo un'altra triade minore partendo da Mi (Mi, Sol, Si) con rapporti 5/4, 3/2 e 15/8 e di nuovo, moltiplicando la tonica per le stesse frazione utilizzate per La minore otteniamo lo stesso risultato. La tonica è Mi=5/4, la terza minore sarà 5/4*6/5=3/2 (Sol) e la quinta 5/4*3/2=15/8 (Si).

Re minore: il problema appare cercando di fare lo stesso partendo da Re (9/8) ma 9/8*6/5=27/20 e 9/8*3/2=27/16 che non sono frazioni appartenenti alla scala originale.

Per vedere i valori in cents degli intervalli qui presentati si può fare riferimento alle tabelle della precedente sezione (
12tET etc.)
Da quella tabelle sono assenti gli intervalli 27/20=519.5 cents e 27/16=905.8 cents che appaiono nel precedente calcolo di
Re minore.

Se provassimo, come visto precedentemente, ad utilizzare Re (10/9) come punto di partenza, il risultato sarebbe corretto: 10/9*6/5=4/3 (Fa) e 10/9*3/2=5/3 (La) ma dissonante rispetto alle altre triadi perchè la tonica di questo accordo (10/9) non è parte della scala da cui siamo partiti.
Si può notare che sia tra 27/20 e 4/3 che tra 27/16 e 5/3 (come già avevamo visto tra 9/8 e 10/9) c’è la differenza di un “
comma sintonico”.

La conclusione è che non si possono avere tutte triadi consonanti utilizzando solo le note della scala con cui siamo partiti.
Questo esperimento si limita ad utilizzare una scala diatonica naturale. Se aggiungessimo altri gradi per arrivare ad una scala a 12 toni, sempre seguendo l’idea di utilizzare rapporti armonici naturali, ovvero basati su semplici frazioni, i problemi aumenterebbero esponenzialmente.

Compositori, musicisti e costruttori di strumenti musicali hanno cercato per millenni una soluzione a questo problema e in Occidente non si è trovato miglior soluzione (leggi compromesso) del temperamento equabile a 12 toni.
L’attuale tecnologia ci consente di investigare questo “enigma musicale” (e innumerevoli altri) con una facilità che tutti gli studiosi che si sono avvicendati nei secoli su questo argomento ci invidierebbero. Un motivo sufficiente, credo, per non ignorare ulteriormente la possibilità di utilizzare intervalli al di là dei consueti 12 per ottava.

Versione per internet - 2012

CARLO SERAFINI

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